ความเป็นธรรมเชิงเลขคณิตกับปัญญาเชิงถ่วงน้ำหนัก

ทำความเข้าใจ “น้ำหนัก” กับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

โดยทั่วไป หากจำนวน $n$ จำนวน $x_1, x_2, \cdots, x_n$ มีน้ำหนักเป็น $w_1, w_2, \cdots, w_n$ ตามลำดับ แล้ว:

$\frac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$

เรียกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (weighted average) ของจำนวน $n$ จำนวนนี้ น้ำหนัก (weight) มีความหมายบ่งบอกระดับความสำคัญของข้อมูล ยิ่งน้ำหนักมาก ข้อมูลส่วนนั้นก็ยิ่งมีอิทธิพลต่อค่าเฉลี่ยสุดท้ายมาก (เหมือนกับตุ้มน้ำหนักที่หนักกว่าบนตาชั่งทางฟิสิกส์ที่ดึงจุดหมุนให้เข้าใกล้มัน)

ความถี่ในฐานะน้ำหนัก: การจัดการข้อมูลเป็นกลุ่ม

เมื่อทำสถิติข้อมูลขนาดใหญ่ (เช่น ยอดขายรายเดือนของพนักงานขายใน “ตัวอย่างที่ 6 แผนกเสื้อผ้าของห้างสรรพสินค้า” หรือการสำรวจอายุของนักกีฬาทีมกระโดดน้ำ) ค่าเดียวกันอาจปรากฏขึ้นหลายครั้ง ในกรณีนี้ จำนวนครั้งที่ปรากฏ (ความถี่) ก็กลายเป็นน้ำหนักของค่านั้นโดยธรรมชาติ

ในการหาค่าเฉลี่ยของจำนวน $n$ จำนวน หาก $x_1$ ปรากฏ $f_1$ ครั้ง, $x_2$ ปรากฏ $f_2$ ครั้ง, $\cdots$, $x_k$ ปรากฏ $f_k$ ครั้ง (โดยที่ $f_1+f_2+\cdots+f_k=n$) แล้วค่าเฉลี่ยของจำนวน $n$ จำนวนนี้:

$\bar{x} = \frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{n}$

ก็เรียกได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของจำนวน $k$ จำนวนนี้ โดยที่ $f_1, f_2, \cdots, f_k$ เรียกว่าน้ำหนักของ $x_1, x_2, \cdots, x_k$ ตามลำดับ เป้าหมายยอดขายรายเดือนที่คำนวณด้วยวิธีนี้สามารถกรองสัญญาณรบกวนจากยอดขายที่สูงสุดขั้วของบางคนได้ สะท้อนความสามารถทั่วไปของพนักงานขายส่วนใหญ่ได้อย่างแท้จริง จึงช่วยกำหนดระบบรางวัลที่มีทั้งความท้าทายและเป็นไปได้จริง

การประนีประนอมอย่างชาญฉลาดด้วยค่ากึ่งกลางชั้น

เมื่อข้อมูลถูกกระจายอย่างหยาบ ๆ ไปยังช่วงต่าง ๆ (การแบ่งกลุ่มข้อมูล) เราจะสูญเสียค่าที่เฉพาะเจาะจงของแต่ละหน่วย ในกรณีนี้ค่ากึ่งกลางชั้นของกลุ่มหนึ่งหมายถึงค่าเฉลี่ยของค่าที่จุดปลายทั้งสองของกลุ่มนั้น ตัวอย่างเช่น การนำจุดกึ่งกลางของช่วงคูณกับความถี่ของช่วงนั้น ก็จะได้รูปแบบการคำนวณถ่วงน้ำหนักแบบคลาสสิก:

$\bar{x} = \frac{11 \times 3 + 31 \times 5 + 51 \times 20 + 71 \times 22 + 91 \times 18 + 111 \times 15}{3+5+20+22+18+15}$